Pearson

Imparare sempre

Nodo trifoglio. Disegno: Matematita

magazine # / /

Matematica. Il potere dei modelli mentali

di Giorgio Bolondi, Presidente della Commissione Italiana per l’Insegnamento della Matematica

10 ottobre 2012

In matematica è fondamentale vedere “gli oggetti” di cui si parla, per trasformarli, fare e verificare ipotesi. Aiutare i ragazzi a ripercorrere questa strada può essere un esercizio importante per comprendere quello che nel mondo reale non c’è e risolvere gli stessi problemi in modo diverso. 

L’immaginazione gioca un ruolo cruciale in matematica, dice Alain Connes, medaglia Fields nel 1982, uno dei matematici più influenti del giorno d’oggi. Bisogna però intendersi sul significato della parola. L’immaginazione del matematico non è l’inventiva, o la fantasia, o la creatività, che pure sono doti molto importanti nel lavoro di ricerca. L’immaginazione, in matematica, è fondamentalmente la capacità di produrre immagini: immagini mentali, perché gli oggetti della matematica hanno bisogno di essere in qualche modo presenti alla mente.

Non basta una presenza ridotta al puro meccanismo del funzionamento sintattico: occorre anche rendere visibili mentalmente questi oggetti, e questo avviene spesso sotto forma di immagini. Che forma assume nella mia mente la linea dei numeri, ad esempio? Un spirale, una retta, una curva nello spazio a tre dimensioni…

Una sfera cornuta, che si ottiene deformando progressivamente una normale sfera. Disegno: Matematita

Una sfera cornuta, che si ottiene deformando progressivamente una normale sfera. Disegno: Matematita

Già Francis Galton, l’eclettico cugino di Darwin che introdusse l’idea di regressione e rese scientifico l’utilizzo delle impronte digitali, aveva studiato questo problema. Alcuni grandi matematici sono stati degli straordinari produttori di immagini, e lo testimoniano nei loro scritti autobiografici, anche se questa fase del processo creativo viene talvolta oscurata nella scrittura di un testo scientifico ufficiale. Quello che vale per il matematico che cerca di risolvere un problema aperto è però vero, come spesso accade, anche per lo studente che si sforza di comprendere l’ultima lezione del suo professore.

Le immagini mentali degli oggetti matematici si formano seguendo processi di analogia, di generalizzazione, di esplorazione di casi limite. Si formano cercando di afferrare un elemento strutturale caratteristico della situazione che stiamo guardando. Soprattutto, su queste immagini mentali si può operare: possiamo trasformarle, modificarle, usarle per esplorare congetture e per verificare ipotesi.

Le modifichiamo progressivamente, confrontandole con gli elementi sempre nuovi con cui veniamo in contatto, fino a farle diventare dei veri e propri modelli mentali degli oggetti matematici. Sono l’elemento fondamentale per utilizzare l’intuizione, senza la quale la matematica è un vuoto esercizio di regole. Il lavoro del matematico, scienziato o studente che sia, non si svolge mai attraverso l’elaborazione di cieche deduzioni a partire da definizioni e proprietà primitive piovute dal cielo.

Le definizioni, che saranno poi il punto di partenza della costruzione logico-deduttiva, sono quasi sempre il risultato finale di un lavoro lungo e faticoso; i teoremi centrali assumono la loro forma levigata e cristallina dopo un lungo lavorio chiarificatore di smussamento e le dimostrazioni acquistano la loro eleganza grazie a progressivi approfondimenti della comprensione e semplificazioni delle relazioni tra i diversi aspetti del problema trattato. In tutto questo processo la scoperta è sempre guidata, per dirla con Poincaré, da un’intuizione.

La posizione di Poincaré è molto esplicita, ed espressa con la sua consueta sintesi lapidaria: l’intuizione non può darci né il rigore né la certezza; la logica, impero della tautologia, non può farci scoprire nulla. In altre parole, la logica, che sola può dare la certezza, è lo strumento della dimostrazione e quindi della validazione, l’intuizione è lo strumento della scoperta. Negli stessi anni di Poincaré, un illustre non-matematico, Emil Durkheim, scriveva: «una volta trovato un teorema lo si dimostra ricollegandolo a un altro già dimostrato; ma prima bisogna trovarlo; la dimostrazione presuppone dunque l’invenzione. Ma da dove ci viene la capacità di inventare? Dall’immaginazione».

In questa immagine, come potrebbe apparire la figura geometrica di un "toro" (una forma che in partenza è simile a una ciambella) a 4 dimensioni proiettata nello spazio tridimensionale. Disegno: Matematita

In questa immagine, come potrebbe apparire la figura geometrica di un “toro” (una forma che in partenza è simile a una ciambella) a 4 dimensioni proiettata nello spazio tridimensionale. Disegno: Matematita

Non c’è una regola fissa per l’uso dell’immaginazione; una sola si impone all’inventore: sottomettere la propria scoperta a una verifica rigorosa. L’intuizione lavora sulle immagini: forse dovremmo ricordarcelo quando lavoriamo con i nostri allievi. Perché mai a loro dovremmo solo scodellare il prodotto finito? Perché non ripercorrere, ogni tanto, questo processo di scoperta partendo dalle loro intuizioni, dalle loro immagini? Esiste una sezione piana di un cubo che sia un esagono regolare? Come rispondere a questa domanda senza “vedere” nella mente un cubo e lavorare su di esso? Questa immagine può essere molto più duttile di un cubo reale, molto più funzionale alla costruzione della risposta. (Per inciso: sì, è possibile).

La personale scoperta della matematica, la sola strada per un vero apprendimento, ha bisogno dell’intuizione. L’intuizione è personale, come personali sono le immagini su cui si appoggia; certe volte potranno essere molto concrete, altre volte saranno simboliche e metaforiche. C’è chi vede i numeri primi come i mattoncini del Lego, e la scomposizione in fattori come una costruzione; c’è chi immagina particolari superfici geometriche come paesaggi. Con questi mattoncini si gioca e si provano costruzioni; in questi paesaggi si scoprono fiumi monti e valli.

La costruzione di immagini permette anche di lanciarci in quei settori della matematica per i quali non sono possibili modelli concreti di alcun tipo: ad esempio, come comprendere cosa è, come è fatto, quali proprietà ha, lo spazio a quattro dimensioni? Rileggiamo coi nostri studenti Flatland, per renderci conto dello sforzo di immaginazione che “vedere la quarta dimensione” può richiedere, ma anche della straordinaria sensazione di libertà (dai limiti della materia) che la matematica può dare.

Certe volte infine, queste immagini mentali possono anche venire tradotte in immagini reali, fisiche. Lo hanno fatto alcuni artisti: Escher, Reutersvaard, Dalì… lo possiamo fare oggi ancora di più con l’elaborazione informatica delle immagini. Anche questo, il mondo virtuale che aiuta a rendere concreto l’astratto, può essere uno strumento straordinario in mano all’insegnante.

Approfondimenti
Le immagini della matematica

La maggior parte delle immagini di queste pagine sono di Matematita, Centro Interuniversitario di Ricerca per la Comunicazione e l’Apprendimento Informale. Matematita si propone di individuare contenuti e metodi adatti a un tipo di comunicazione informale, indagando ad esempio: quali siano i contenuti più adeguati; quali contesti si rivelino più efficaci; il ruolo del linguaggio; le possibilità offerte dagli strumenti multimediali; i rapporti con le altre discipline (dalle arti figurative alle altre scienze) o i rapporti fra matematica applicata e tecnologia. Fra le realizzazioni del Centro, il progetto Immagini per la matematica si propone di rendere fruibile al pubblico il patrimonio di immagini e animazioni a disposizione del Centro, creando uno strumento per la comunicazione matematica che sia di facile utilizzo per l’utente, ma che nel contempo garantisca standard elevati di correttezza scientifica e di qualità e pertinenza dal punto di vista iconografico. L’archivio, per il quale è previsto un continuo incremento della dotazione, può essere liberamente consultato in rete e il visitatore può trovarvi un grande numero di immagini (circa 10.000), ciascuna con una didascalia, spesso dotata di un link ipertestuale che rimanda dall’una all’altra. Per saperne di più: www.matematita.it